The ›Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie‹ marks the beginning of a life-long programme devoted to the re-organisation of geometry, and mathematics in general, according to Bolzano‹s own far-reaching methodological principles. Rejecting the concepts of motion, and of the plane, in the first part he proposes proofs of the »die ersten Lehrsätze von Dreiecken und Parallellinien« based only on his radical, and largely original second part: »einer künftig aufzustellenden Theorie der geraden Linie«. The first main part of the ›Beyträge zu einer begründeteren Darstellung der Mathematik‹ is devoted to the nature of mathematics and its proper classification. There is an unusually abstract definition of mathematics as »eine Wissenschaft … die von den allgemeinen Gesetzten (Formen) handelt, nach welchen sich diese Dinge in ihrem Daseyn richten« (I, §.8). The second part develops the methodological principles introduced in the ›Betrachtungen‹ in greater detail and introduces Bolzano‹s idea that, »in dem Inbegriffe aller wahren Urtheile herrscht ein gewisser Objectiver, von unserer zufälligen Subjectiven Anerkennung derselben unabhängiger Zusammenhang.« (II, §. 2) This relation [Abfolge] was to become an important theme of his famous later work 'Wissenschaftslehre! (1837). An Appendix criticises Kant‹s theory of the construction of mathematical concepts through pure intuition.
